Mryntu

У комутативній алгебрі, нільрадікал комутативного кільця — ідеал, що складається з усіх його нільпотентних елементів. Формально для кільця A його нільрадикал рівний:

Nil(A):=x∈A.displaystyle textNil(A):=,exists nin mathbb N ^*,;x^n=0_A.

Іншими словами — нільрадикал є радикалом нульового ідеалу (0).

Також існує кілька варіантів узагальнення цього визначення для некомутативних кілець.

Властивості |

• Нільрадикал дійсно є ідеалом, тому що сума двох нільпотентних елементів є нільпотентним елементом і також добуток добуток нільпотентного елемента на довільний елемент є нільпотентним елементом. Детальніше у статті Нільпотентний елемент.


• Нільрадікал рівний перетину всіх простих ідеалів кільця. Це є частковим випадком твердження про те, що довільний радикал ідеалу є рівним перетину простих ідеалів, що містять даний ідеал. Детальніше у статті Простий ідеал.


• Якщо A — довільне комутативне кільце, то факторкільце по його нільрадикалу не містить ненульових нільпотентних елементів.


• Кільце A складається лише з нільпотентних і оборотних елементів тоді і тільки тоді коли факторкільце по нільрадикалу є полем. У цьому випадку кільце має єдиний простий ідеал, що, очевидно, рівний нільрадикалу.


• Кожен максимальний ідеал є простим, тому радикал Джекобсона — перетин всіх максимальних ідеалів — містить нільрадікал. У разі якщо кільце є кільцем Артіна вони збігаються, при цьому нільрадикал можна описати як максимальний нільпотентний ідеал.


• Якщо нільрадикал є скінченно породженим (наприклад для нетерових кілець), то він є нільпотентним.

Приклади |

• Будь-яка область цілісності, зокрема кільця цілих чисел, многочленів над довільним полем не має нільпотентних елементів, тож їх нільрадикал рівний (0).


• У кільці многочленів від змінних X₁, …, X_n з коефіцієнтами з деякого кільця A нільрадикал рівний множині тих многочленів всі коефіцієнти яких є нільпотентними елементами в кільці Adisplaystyle A.


• У кільці Z₈ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 лишків за модулем 8 єдиним простим ідеалом є 0, 2, 4, 6. Він є нільрадикалом оскільки у Z₈ маємо 2³ = 0, 4² = 0 i 6³ = 0.


• У кільці Z₃₆ простими ідеалами є головні ідеали, що генеруються елементами 2 і 3. Їх перетин рівний головному ідеалу (6) = 0, 6, 12, 18, 24, який і є нільрадикалом. Ідеал (6) не є простим, бо не містить ні 2 ні 3 але їх добуток 6 належить ідеалу.


• У кільці Z₁₈₀ простими ідеалами є (2), (3) і (5), а нільрадикалом є ідеал (30).

Некомутативні кільця |

У некомутативними випадку можна виділити три способи узагальнення поняття нільрадікала. Нижній нільрадікал некомутативного кільця визначається як перетин всіх простих ідеалів. Верхній нільрадікал — ідеал, породжений усіма ніль ідеалами (тобто ідеалами, кожен елемент яких є нільпотентним). Радикал Левицького за розміром знаходиться між ними, і визначається як максимальний локально нільпотентний ідеал. Якщо кільце є нетеровим, всі три визначення збігаються.

Див. також |

• Нільпотентний елемент


• Простий елемент


• Радикал (теорія кілець)

Література |

• 
  Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
  


• David Eisenbud, «Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry», Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.


• 
  Lam, Tsit-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings (вид. 2nd). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0. MR 1838439.