Mryntu

Схематичне двовимірне зображеня викривлення простору-часу біля масивного тіла

Ме́трика про́стору-ча́су — 4-тензор, який визначає властивості простору-часу в загальній теорії відносності.

Опис поняття |

Просторово-часовий інтервал виражається через метрику простору-часу формулою

ds2=gijdxidxjdisplaystyle ds^2=g_ijdx^idx^j,.

де gijdisplaystyle g_ij — метричний тензор.

В інерційній системі відліку матриця метричного тензора простору-часу має вигляд

g^=(10000−10000−10000−1)displaystyle hat g=left(beginmatrix1&0&0&0\0&-1&0&0\0&0&-1&0\0&0&0&-1endmatrixright).

В неінерційних системах відліку вигляд метрики простору-часу змінюється і загалом залежить від точки простору і моменту часу.

Метрика простору-часу задає викривлення простору, яке відчуває спостерігач, що рухається з прискоренням. Оскільки за принципом еквівалентності спостерігач жодним чином не може відрізнити неінерційність зв'язаної з ним системи відліку від гравітаційного поля, то метрика простору-часу визначає також викривлення простору в полі масивних тіл.

Метрика простору-часу використовується для встановлення зв'язку між коваріантними і контраваріантними записами будь-якого 4-вектора

Ai=gijAjdisplaystyle A_i=g_ijA^j,.

Властивості |

Метричний тензор симетричний відносно своїх індексів, тобто gij=gjidisplaystyle g_ij=g_ji. Це видно із загальної формули для квадрата диференціалу просторово-часового інтрервалу.
Детермінант метрики простору часу, який позначається g, від'ємний.

Контраваріантна форма метричного тензора зв'язана з коваріантною за допомогою повністю антисиметричного тензора четвертого порядку

Eijkl=1−geijkldisplaystyle E^ijkl=frac 1sqrt -ge^ijkl,,

де eijkldisplaystyle e^ijkl — звичайний повністю антисиметричний тензор, визначений в інерційній системі відліку, тобто тензор, компоненти якого дорівнюють 1 або −1 і змінюють знак при перестановці будь-яких двох індексів.

Таким чином

gij=1−geijklgkldisplaystyle g^ij=frac 1sqrt -ge^ijklg_kl,

Метричний тензор, як будь-який симетричний тензор, можна вибором системи відліку звести до діагонального вигляду. Проте ця операція справедлива лише в певній точці простору-часу, і, в загальному випадку, не може буде проведена для всього простору-часу.

Власний час |

Квадрат диференціалу просторово-часового інтервалу для однієї просторової точки дорівнює

ds2=g00(dx0)2=c2dτ2displaystyle ds^2=g_00(dx^0)^2=c^2dtau ^2;,

де c — швидкість світла.

Величину

τ=1c∫g00dx0displaystyle tau =frac 1cint sqrt g_00dx^0

називають власним часом для світової лінії.

Просторовий інтервал |

Квадрат віддалі між двома нескінченно близькими точками задається формулою

dl2=γαβdxαdxβ=(−gαβ+gα0g0βg00)dxαdxβdisplaystyle dl^2=gamma _alpha beta dx^alpha dx^beta =left(-g_alpha beta +frac g_alpha 0g_0beta g_00right)dx^alpha dx^beta

Грецькі індекси використовуються тоді, коли підсумовування ведеться лише по просторових координатах. Тензор γαβdisplaystyle gamma _alpha beta є метричним тензором для тривимірного простору.

Інтегрувати визначену таким чином віддаль не можна, оскільки результат залежав би від світової лінії, по якій велося б інтегрування. Таким чином, у загальній теорії відносності поняття віддалі між далекими об'єктами в тривимірному просторі втрачає сенс. Єдиний виняток — ситуація, в якій метричний тензор gijdisplaystyle g_ij не залежить від часу.

Джерела |

• 
  Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука. 
  

Цю статтю потрібно вікіфікувати, щоб привести її вигляд до стандартів Вікіпедії. Будь ласка, допоможіть додаванням доречних внутрішніх посилань або покращенням розмітки статті. (Лютий 2010)

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.