Mryntu

Зірчата область відносно точки x0displaystyle x_0

Кільце не є зірчатою областю

Зірчата область, відносно фіксованої точки x0displaystyle x_0 — область Ddisplaystyle D евклідового простору, Rn,displaystyle mathbb R ^n, така, що відрізок, що сполучає довільну точку області Ddisplaystyle D з точкою x0displaystyle x_0, цілком належить цій області.

Формально, область D⊆Rndisplaystyle Dsubseteq mathbb R ^n називається зірчатою щодо точки x0∈Ddisplaystyle x_0in D якщо для всіх точок x∈Ddisplaystyle xin D відрізок

[x0x]=x0+t(x−x0):t∈[0,1]displaystyle [x_0,x]=leftx_0+t(x-x_0);colon ;tin [0,1]right

повністю належить Ddisplaystyle D.

Приклади |

• Довільна лінія або площина в Rndisplaystyle mathbb R ^n є зірчатою областю.


• Довільна опукла область є зірчатою.


• Область є опуклою тоді і тільки тоді, коли вона є зірчатою відносно кожної своєї точки.


• Якщо A є множиною в Rndisplaystyle mathbb R ^n, то множина B=ta:a∈A,t∈[0,1]displaystyle B=ta:ain A,tin [0,1] є зірчастою щодо початку координат.

Властивості |

• Зірчаста область є стягуваною множиною, зокрема вона є однозв'язною.


• Непуста відкрита зірчата область D⊆Rndisplaystyle Dsubseteq mathbb R ^n є дифеоморфною Rn.displaystyle mathbb R ^n.
  


• Непуста множина D⊆Rndisplaystyle Dsubseteq mathbb R ^n є зірчатою щодо точки x0displaystyle x_0 тоді і тільки тоді коли її образ при перетворенні гомотетії з центром в точці x0displaystyle x_0 і коефіцієнтом t є підмножиною Ddisplaystyle D для всіх t∈[0,1]displaystyle tin left[0,1right].


• Підмножина Ddisplaystyle D дійсного векторного простору Edisplaystyle E є зірчатою щодо точки 0displaystyle 0 тоді і тільки тоді коли існує функція p:E→[0,+∞]displaystyle p:Eto left[0,+infty right] для якої ∀t∈[0,+∞[∀x∈Ep(tx)=tp(x)displaystyle forall tin left[0,+infty right[quad forall xin Equad p(tx)=tp(x), (приймається 0×∞=0displaystyle 0times infty =0) і також x∈E∣p(x)<1⊂D⊂x∈E∣p(x)⩽1displaystyle xin Emid p(x)<1subset Dsubset xin Emid p(x)leqslant 1. Для відкритої множини D=x∈E∣p(x)<1,displaystyle D=xin Emid p(x)<1, для замкнутої D=x∈E∣p(x)⩽1,displaystyle D=xin Emid p(x)leqslant 1, Ця функція є функціоналом Мінковського множини Ddisplaystyle D : ∀x∈Ep(x)=infλ>0∣x∈λDdisplaystyle forall xin Equad p(x)=inf lambda >0mid xin lambda D. Зірчаста область щодо точки 0displaystyle 0 є обмеженою тоді і тільки тоді коли p(x)>0,x∈D,x≠0.displaystyle p(x)>0,quad xin D,;xnot =0. Вона є опуклою якщо p(x+y)⩽p(x)+p(y).displaystyle p(x+y)leqslant p(x)+p(y).
  

Див. також |

• Зіркоподібний многокутник


• Опукла множина

Література |

• Касселс Дж., Введение в геометрию чисел, пер. с англ., М., 1965