Mryntu

Поширення стоячих хвиль по струні. Основна частота і перші 5 обертонів у гармонічному ряді.

Вібрація струни є хвилею. Акустичний резонанс^[en] змушує струну, що вібрує, створювати звук зі сталою частотою, тобто зі сталою висотою звуку. Якщо довжину або натяг струни правильно підібрано, звук, який вона утворює буде музичним тоном. Струни,що вібрують, є основою струнних музичних інструментів, таких як гітари, віолончелі та фортепіано.

Хвиля |

Швидкість поширення хвилі по струні (vdisplaystyle v) пропорційна квадратному кореню сили натягу струни (Tdisplaystyle T) і обернено пропорційна квадратному кореню лінійної густини (ρdisplaystyle rho ) струни:

v=Tρ.displaystyle v=sqrt T over rho .

Це співвідношення відкрив Вінченцо Галілей наприкінці 1500-их років.

Доведення |

Нехай Δxdisplaystyle Delta x є довжиною відрізка струни, mdisplaystyle m задає її масу, а ρdisplaystyle rho задає її лінійну густину. Якщо горизонтальна складова натягу струни Tdisplaystyle T є сталою, тоді сила, що діє на кожний бік відрізка струни визначається як

T1x=T1cos⁡(α)≈T.displaystyle T_1x=T_1cos(alpha )approx T.

T2x=T2cos⁡(β)≈T.displaystyle T_2x=T_2cos(beta )approx T.

Якщо обидва кути є малими, тоді сила на кожному кінці є однаковою, результуюча горизонтальна сила дорівнює нулю. Із другого закону Ньютона для вертикальної складової, маса цього відрізка, помножена на її прискорення adisplaystyle a, дорівнюватиме загальній силі, що діє на відрізок струни:

ΣFy=T1y−T2y=−T2sin⁡(β)+T1sin⁡(α)=Δma≈ρΔx∂2y∂t2.displaystyle Sigma F_y=T_1y-T_2y=-T_2sin(beta )+T_1sin(alpha )=Delta maapprox rho Delta xfrac partial ^2ypartial t^2.

Поділивши цей вираз на Tdisplaystyle T і підставивши перше та друге рівняння отримаємо

ρΔxT∂2y∂t2=−T2sin⁡(β)T2cos⁡(β)+T1sin⁡(α)T1cos⁡(α)=−tan⁡(β)+tan⁡(α)displaystyle frac rho Delta xTfrac partial ^2ypartial t^2=-frac T_2sin(beta )T_2cos(beta )+frac T_1sin(alpha )T_1cos(alpha )=-tan(beta )+tan(alpha )

Тангенси кутів на кінцях струни дорівнюють куту нахилу на кінцях, із знаком мінус, відповідно до визначення кутів альфа і бета. Використавши цей факт і застосувавши перевпорядкування отримаємо

1Δx(∂y∂x|x+Δx−∂y∂x|x)=ρT∂2y∂t2displaystyle frac 1Delta xleft(left.frac partial ypartial xright

У границі, де Δxdisplaystyle Delta x наближається до нуля, ліва частина відповідає визначенню другої похідної для ydisplaystyle y:

∂2y∂x2=ρT∂2y∂t2.displaystyle frac partial ^2ypartial x^2=frac rho Tfrac partial ^2ypartial t^2.

Це рівняння хвилі для y(x,t)displaystyle y(x,t), а коефіцієнт другої похідної від часу дорівнює v−2displaystyle v^-2; тому

v=Tρ,displaystyle v=sqrt T over rho ,

де vdisplaystyle v це середня скалярна швидкість поширення хвилі по струні (див. статтю про хвильове рівняння). Однак, це доведення є правильним лише для вібрацій із малою амплітудою; для вібрацій із великою амплітудою, Δxdisplaystyle Delta x не є добрим наближенням для довжини відрізку струни, горизонтальний натяг струни не обов'язково є постійним , тоді горизонтальний натяг не буде правильно задаватися як Tdisplaystyle T. ^[1]

Примітки |

Посилання |

• "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project.